EP28. Jitter
這次來聊聊比較硬核的技術: Jitter。Jitter的種類蠻多，本次報告著重在影響互聯傳輸的Jitter。分享個人觀點，歡迎討論。
1. Jitter Background
1.1. 觀察Jitter
當過硬體工程師的讀者，應該利用過示波器 無限餘輝（Infinite Persistence） 模式觀察過Jitter：
基本原理 (Implementation)
機制： 利用示波器觸發（Trigger）單一邊緣，並透過餘輝功能累積大量波形。
判讀： 直接觀察波形在特定電壓點的「時間變異寬度」，作為 Jitter 的直觀呈現。
關鍵限制 (Drawbacks)
這張圖特別強調了此方法在高速訊號測量上的不足：
誤差疊加 (Additive Error)： 測得的 Jitter 包含了示波器本身的 Trigger Jitter，導致結果比實際訊號更差(現代高階儀器此誤差極小)。
無法分析 (No Decomposition)： 只能看到總合的現象，無法區分 RJ (隨機抖動) 與 DJ (確定性抖動)，因此對於 Debug 問題根源（如 Crosstalk 或 ISI）幫助甚微。
1.2. TIE(Time Interval Error)
現代 Jitter 分析中最基礎的物理量——TIE (時間間隔誤差)
TIE 的定義
如圖所示，TIE 是一個簡單的減法公式：
TIE = [實測到達時間] - [預期到達時間]
實測 (Pink Trace): 訊號實際跨過電壓門檻的時間。
預期 (Yellow Trace): 這是由 CDR (Clock Data Recovery) 演算法算出的「理想參考時脈」位置。
正負值： 訊號晚到 (Late) 則 TIE 為正；早到 (Early) 則 TIE 為負
TIE 與 Jitter 的關係 (Raw Data vs. Statistics)
這是最關鍵的概念：Jitter 不是直接測出來的，而是由 TIE 算出來的
TIE 是「瞬時值」 (Raw Data): 示波器會計算每一個 Bit 的 TIE，如果捕捉了 100 萬個 Bits，就會得到 100 萬個 TIE 數值，這形成了一個隨時間波動的 TIE Track (趨勢圖)。
Jitter 是「統計值」 (Statistics): 我們平常說的 Jitter 規格，就是對這串 TIE 數據進行統計分析：
RMS Jitter: 等於 TIE 分佈的標準差。
Peak-to-Peak Jitter: 等於 TIE 最大值與最小值的差值。
1.3. Eye Diagram
硬體工程師應該也看過眼圖，眼圖就是 Jitter 的總合表現；Jitter 決定了眼睛水平張開的極限。
示波器將無數個像上張圖這樣的邊緣，以 1 UI (Unit Interval) 為週期進行**「時間摺疊 (Folding)」與「堆疊」**後的統計結果。
垂直軸 (Vertical Axis)：雜訊與振幅
物理量： 電壓 (Voltage) 或功率。
影響因子： 振幅雜訊 (Amplitude Noise)、通道損耗 (Loss)、串音 (Crosstalk)。
結果： 這些因素會導致眼圖上下邊緣變厚，壓縮 眼高 (Eye Height)，影響訊號的信噪比 (SNR)。
水平軸 (Horizontal Axis)：Jitter 的主戰場 (本次報告重點)
物理量： 時間 (Time) 或相位。
影響因子： 抖動 (Jitter)。
物理機制： Jitter 本質上是訊號邊緣 (Edge) 在時間軸上的「左右隨機游移」。
關鍵結論： Jitter 是決定接收端採樣時間窗口,眼寬 (Eye Width),的唯一關鍵。
垂直閉合看雜訊 (Noise)，水平閉合看抖動 (Jitter)；Jitter 的大小直接決定了眼圖在水平方向還剩多少「乾淨」的採樣時間
2. 歷史背景：Wavecrest的興衰
2.1 技術特徵：統計學派的巔峰
在2000左右， 2.5 Gbps 以下的時代，Wavecrest SIA-3000 是Jitter量測的霸主
硬體架構： TIA (Time Interval Analyzer)。它本質上是一個超高速計數器，僅偵測訊號過零點 (Zero-crossing) 的時間標記 (Time Tags)。進一步計算TIE和直方圖(Histogram)。
分析方法： 由當時Wavecrest的CTO Mike Li博士提出Dual Dirac Model。利用直方圖 (Histogram) 的尾部斜率來逆推 RJ，DJ，試圖在混亂的統計數據中分離隨機性(RJ)與決定性(DJ)成分。
2.2. Dual Dirac Model
針對 Dual-Dirac 模型 (雙狄拉克模型) 技術的簡述，這是高速訊號量測 (SI) 中估算 Total Jitter (TJ) 的業界標準方法：
數學模型
目的：以「統計」換取「時間」
直接測量 BER = 10-12 需要數小時甚至數天。此模型利用短時間測得的高 BER 數據（如10-6），透過統計外插(extrapolate)來快速預測極低 BER 下的 TJ。
核心假設：卷積 (Convolution)
它將複雜的 Jitter 分佈簡化為兩個數學函數的卷積：
DJ (Deterministic Jitter)： 簡化為兩個離散的狄拉克脈衝，代表有界(Bounded)抖動的邊界(前圖中的μL和μR, 或下圖中的μ-和μ+)。
RJ (Random Jitter)： 假設為標準高斯分佈 (Gaussian)，代表無界(Unbounded)抖動。
手段：尾部擬合 (Tail Fitting)
演算法忽略直方圖中間複雜的波峰（因 ISI(Inter Symbol Interference) 等造成的細節），專注於擬合分佈曲線左右兩側的尾部 (Tails)。因為只有尾部的高斯特性決定了極低 BER 的表現:
關鍵公式
TJ(BER) = DJ(σσ) + Q(BER) x RJrms
DJ(σσ) ：擬合出的兩個高斯分佈均值之間的距離(注意：這通常小於實際測量DJp-p)
RJrms: 擬合出的高斯標準差 σ
Q(BER) : 對應於 BER = 10-12，係數約為 14
TJ(BER=10-12) = DJ(σσ) + 14 x RJrms
註: 請參考補充說明的公式推導
Mike Li 的 Dual-Dirac 模型是一種**「忽略中間細節、專注兩端尾部」**的統計擬合手段，用以快速推算高速鏈路的 Total Jitter。
Bathtub Curve
Bathtub Curve (浴缸曲線) 的核心概念，這是評估高速訊號時序裕度 (Timing Margin) 的最終圖表
圖表意義：
描述了 誤碼率 (BER) 與 採樣位置 (Strobe Position) 的關係。曲線呈現「V」字形（對數坐標下），兩側代表 Jitter 的分布尾部 (Tails)，中間底部代表訊號最穩定的區域 (Eye Opening)
時序預算等式：
1 UI = TJ(BER) +EW(BER)
TJ(total Jitter): 訊號「不穩定」的時間寬度（兩側牆壁佔據的空間）
EW(Eye Width): 訊號「穩定」的時間寬度（中間可用的採樣窗口）
在一個固定的 Unit Interval (1 UI) 內，TJ 越大，剩下的 EW 就越小。
BER 與 Margin 的代價關係：
BER 要求越寬鬆 (如 10-6)： Eye Width 較寬 (箭頭較長)。
BER 要求越嚴格 (如10-12)： 我們必須考慮發生機率極低的 Jitter (RJ 的極端尾部)，這導致 Bathtub 曲線向內收縮，TJ 變大，Eye Width (Margin) 變窄。
2.4. 致命缺陷
隨著速率提升，通道損耗造成的 ISI (Inter-Symbol Interference) 大幅增加。
偽高斯現象： 根據中央極限定理，複雜的 ISI 在直方圖上會呈現類似高斯分佈 (Bell Curve) 的形狀:
誤判機制： 由於 TIA(Time Interval Analyzer) 看不到波形，它無法感知訊號的電壓形狀、震盪或振幅衰減。因為 ISI 造成的機率分佈是 bounded（有邊界的），但在某些長通道下，ISI 的分佈非常複雜，導致其 Histogram 的尾巴看起來很像高斯分佈（Gaussian-like）。Wavecrest 的演算法無法區分「真的高斯尾巴」和「很像高斯尾巴的 ISI」，導致 RJ 被高估，進而乘以 14 倍後讓 TJ 爆表。
代價： 這些「偽裝成 RJ」的 ISI 被錯誤地乘以14倍( BER = 10-12)。導致計算出的 TJ 嚴重虛高，產品良率下降 (False Fail)。
Wavecrest 的命運
公司結局： 於 2008 年左右因財務危機倒閉，旗艦產品 SIA-3000 隨即停產
靈魂人物： 技術核心 Mike Li 於2007加入 Altera，現為 Intel Fellow，繼續主導高速信號標準制定
技術遺產： 公司雖結束，但其推廣的 Dual-Dirac Model 與 Tail Fitting 算法卻成為了業界標準 (PCIe, Ethernet)，被昔日競爭對手 (Keysight, Tektronix) 全面採用，統治了今日的 Jitter 量測領域。
3. 技術轉折：示波器的修正(2004)
Keysight 與 Tektronix 利用示波器具備 ADC 取樣，數位信號處理的優勢，推動了從「純統計」向「訊號處理」的典範轉移。
3.1. Jitter 分類和分解
這張圖表展示了 Signal Integrity 中最核心的 Jitter 分類樹 (Jitter Classification Tree)，這是診斷系統問題的標準流程。簡述如下：
第一層：物理本質 (TJ = RJ + DJ)
RJ (Random Jitter, 隨機抖動)：
特性： 無界 (Unbounded)，服從高斯分佈。
來源： 物理熱噪聲 (Thermal Noise)，無法完全消除。
影響： 決定 Bathtub Curve 的斜率 (收斂速度)。
DJ (Deterministic Jitter, 確定性抖動)：
特性： 有界 (Bounded)，有固定的最大/最小值。
來源： 系統設計缺陷 (如頻寬不足、電源干擾)，可被改善。
影響： 決定 Bathtub Curve 的底部平坦區 (吃掉固定的 Margin)
第二層：DJ 的診斷歸因
DJ 根據「是否與數據內容相關」進一步細分，直接對應具體的物理成因：
DDJ (Data Dependent, 數據相關)：
ISI (碼間干擾)： 通道損耗大、頻寬不足 —> 導致波形拖尾。
DCD (Duty Cycle Distortion, 佔空比失真)： 上升/下降時間不對稱或 Vref 偏移 —> 導致 0 與 1 寬度不等。
BUJ (Bounded Uncorrelated, 有界不相關)：
PJ (週期性抖動)： 電源開關噪聲 (Switching Noise) 耦合 —> 頻譜上有特定頻率的刺 (Spur)。
OBUJ / Crosstalk： 串音（Crosstalk）在分類上屬於 BUJ (Bounded Uncorrelated Jitter)。但要注意，當干擾源（Aggressors）非常多且非同步時，根據中央極限定理（Central Limit Theorem），串音的總和效應看起來會非常像高斯分佈，這時候它會變成 "Gaussian-like" Crosstalk，這也是現代儀器最難分離的部分（容易被誤判為 RJ）。
結論：
Jitter 分類是 SI 除錯的「導航圖」：RJ 看時鐘品質，ISI 看通道損耗，PJ 看電源噪聲。只有正確分類，才能套用模型準確估算 TJ(BER=10-12) = DJ(σσ) + 14 x RJrms
3.2. 核心技術：獨立 σ 技術
現代方法不再盲目擬合直方圖，而是採用「分而治之 (Divide and Conquer)」策略：
圖樣鎖定與平均 (Pattern Lock & Averaging)：
利用重複的測試圖樣 (如 PRBS)，將波形多次疊加平均。
效果：隨機雜訊被濾除，留下的純淨波形即為DDJ (ISI)。這讓我們能直接測量並扣除 ISI，而非用猜的
頻譜移除 (Spectral Removing)：
對殘差訊號 (Residual Error) 進行 FFT 分析，識別頻譜上的尖峰，將其歸類為 PJ (Periodic Jitter) 並扣除。
純化 RJ (Pure RJ Extraction)：
經過上述清洗，剩餘的背景雜訊才是真正的熱噪聲 (RJ)。此時計算出準確的σ值和DJ(σσ)。
3.3. Jitter Analysis Tool
這張截圖展示了業界標準的 Keysight FlexDCA Jitter 分析介面，其核心邏輯是將複雜的訊號進行 Jitter Decomposition (抖動分解)：
圖表功能 (四大象限)：
診斷病因 (右側)： 將混合的噪聲拆解為 RJ/PJ (時鐘/電源問題) 與 DDJ (通道 ISI 問題) 的直方圖，讓工程師一眼看出問題根源。
呈現結果 (左側)： 顯示總抖動分佈 (TJ) 與最終的 Bathtub Curve，用以判斷訊號餘裕。
量化數據 (下方表格)：
直接列出基於 Dual-Dirac 模型 算出的關鍵指標
TJ，EyeWidth，RJ， DJ
作為驗證 Link 是否達標 (Pass/Fail) 的最終依據
4. 現代前沿：訊號模型與串音分離 (2020)
針對最棘手的 串音 (Crosstalk / BUJ) 與 任意圖樣 (Live Traffic) 測量，R&S 進一步引入了 Signal based Model 的方法:
4.1. Signal Based Model
Rohde & Schwarz (R&S) 獨有的 Signal-Based Decomposition (基於訊號的分解模型)，這是針對高速長通道測量（如 PCIe Gen5/6）的一種先進演算法。簡述如下：
核心差異：全波形 vs. 過零點
傳統方法 (TIE-Based)： 僅關注訊號的「過零點 (Edges)」，計算時間誤差 (TIE)。如果眼圖閉合，找不到 Edge，傳統方法就會失效。
R&S 模型： 如圖中文字所述，它**「對整個訊號波形建立模型」**。它利用每一個採樣點（包含波峰、波谷）來擬合出數學模型，而不僅僅依賴 Edge。
數學物理意義
公式 y(t) = Pattern × Step Response + Jitter + Noise表達了接收訊號是由三個物理量合成的：
hsr (Step Response)： 演算法會算出通道的「步驟響應」，這直接對應 ISI (碼間干擾)。
ξh (Horizontal Jitter)： 水平方向的時序抖動。
ξv (Vertical Noise)： 垂直方向的電壓雜訊。
最大優勢
閉合眼圖分析 因為它能算出通道的hsr ，即使眼圖完全閉合，這個模型也能透過數學運算將 ISI 剝離，精確分離出 RJ 與 DJ，並區分出到底是「垂直雜訊」還是「水平抖動」在惡搞，這是傳統 Dual-Dirac 模型難以做到的。
4.2. 優點
處理BUJ (Bounded Uncorrelated Jitter)
傳統 Averaging 會將非相關的串音從平均波形中消除，使其躲進殘差裡被誤算為 RJ。
解決方案：垂直雜訊分離 (Vertical Noise Separation)
原理： 利用物理特徵——串音本質上是電壓幅度干擾。演算法分析波形平坦區 (Flat regions) 的電壓分佈，將有邊界的串音 (Bounded Noise) 與無邊界的熱噪聲 (Random Noise) 分開
結果： 即使在充滿串音的惡劣環境下，RJ 依然不會被汙染。
無需特定 Pattern 的通道估測
原理： 假設通道為線性非時變系統 (LTI)，利用即時擷取的任意資料，逆推通道的 步階響應 (Step Response)。
優勢：無需 PRBS31 等特定圖樣即可精確計算 DDJ，適用於真實業務流量 (Live Traffic) 的除錯
5. 總結
高速序列訊號Jitter測量的歷史，本質上是一部**「將 Deterministic Jitter (ISI, PJ, Crosstalk) 從 Random Jitter 中逐一剔除」**的歷史。
Mike Li 博士提出的Dual Dirac model和TJ = DJ(σσ) + 14 x RJrms ，提供了一個正確的框架。而後續二十多年儀器技術的進步（從 TIA 到 Scope，從統計到訊號模型），則是為了確保填入這個框架的 RJ 數值是**「乾淨的」**。
正是這些技術修正，讓 Dual-Dirac 模型經得起時間考驗，至今仍精準地守護著每一條高速鏈路的訊號品質。
6. 補充說明
6.1. 推導 TJ(BER=10-12) = DJ(σσ) + 14 x RJrms
Total Jitter (TJ) 就是中間固定的 DJ 加上兩邊隨機擴展的 RJ：
TJ = DJ + (左邊的 RJ 擴展) + (右邊的 RJ 擴展)
推導係數 14 (針對 BER=10-12)
它是基於統計學中的 Q函數（或標準常態分佈表的反函數）(圖中的α(BER)=2Q函數)。
步驟 A：單邊尾巴的機率 高斯分佈是從中心向兩邊擴散的。我們要看的是，為了保證錯誤率低於 10-12，我們需要離中心點多遠？
當 BER=10-12 時，Q值大約是 7.0345(α = 14.069)
這意味著，如果你從高斯分佈的中心往外走 7.034 倍的標準差（σ），只有 10-12 的機率會超出這個範圍。
步驟 B：雙邊總和 (Dual-Dirac 的關鍵) 在眼圖中，抖動會影響「左邊的邊緣」和「右邊的邊緣」，或者更準確地說，Dual-Dirac 模型有左右兩個峰值（由 DJ 撐開）
左邊的高斯曲線向左延伸，貢獻了 7.034 * RJ_rms 的寬度
右邊的高斯曲線向右延伸，貢獻了 7.034 * RJ_rms 的寬度
步驟 C：加總 Total Jitter (TJ) 就是中間固定的 DJ 加上兩邊隨機擴展的 RJ
TJ = DJ + (左邊的 RJ 擴展) + (右邊的 RJ 擴展) = DJ(σσ) + 14.069 x RJrms
6.2. DJ(σσ) vs. DJ(p-p)
DJ(σσ)是一個「模型參數」，是為了畫出 Bathtub Curve 而虛擬出來的兩個 Dirac 脈衝的距離。它通常小於實際示波器量的DJ(p-p)
原因：
實際的 DJ（包含 ISI）在直方圖中間有許多能量分佈，Dual-Dirac 模型為了簡化，把這些能量「推」到了兩根棒子(DJ(σσ))上，但這只是一種數學擬合。強調這一點可以避免讀者拿著示波器的DJ(p-p)數值去手算公式，發現跟軟體算出來的 TJ對不上
6.3. CDR(Clock Data Recovery)
Jitter 是「相對」的概念。示波器中的 CDR（Clock Data Recovery）不僅是算出理想時鐘，它本質上是一個 High-Pass Filter（高通濾波器，下圖中的OJTF）。
技術細節：
CDR 會「跟隨」低頻的抖動（Low Frequency Jitter）。因此，被 CDR 追蹤到的低頻抖動，在 TIE 測量中會被濾除（看不見）。只有頻率高於 CDR Loop Bandwidth 的抖動才會顯示在 TIE 上。這也是為什麼不同標準（PCIe, Ethernet）會嚴格規範 CDR 的 PLL 頻寬（例如 10 MHz 或 frequency dependent），因為頻寬設錯，測出來的 Jitter 數值就會完全不同
Real Time Scope vs. Sampling Scope
兩種示波器的 CDR 架構對 Jitter 量測有本質區別：
Real-Time Scope (軟體 CDR)： 採用演算法（如 Golden PLL）對記憶體數據進行後處理。優勢是靈活且零額外成本(但硬體成本昂貴)，可在同一筆波形上反覆調整 Loop Bandwidth 進行 “What-if” 分析，精確計算 TIE 並進行 RJ/DJ 分解。
Sampling Scope (硬體 CDR)： 依賴昂貴的實體 RF 模組（如 N107x）從資料中提取時脈以觸發示波器。物理上它是高通濾波器，會追蹤並濾除低頻抖動（Tracking Effect），因此測得的永遠是 殘餘抖動 (Residual Jitter)，且無法事後改變頻寬來找回被濾掉的成分。
[Reference]
Teledyne Lecroy Jitter University Part 5,6
Keysight Jitter Analysis_ The Dual-Dirac Model, RJ_DJ, and Q-scale
R&S AppNote-Gain-New-Insights-in-Jitter-Analysis_V1
R&S Joint-jitter-noise-decomposition_wp_en_3608-5241-52_v0100